應用3維邊界元素法海岸水理環境系列研究
源起
大學畢業進入研究所開始接受波浪方面專業授業,歷經40年歲月退休,回顧過去,到底學習到什麼知識。第一堂課老師首先告訴我們什麼是真正的流體,就是有壓縮性的粘性流體,接著告訴我們將來接觸到的問題以有自由水面存在的問題為主,所以流體的壓縮性可以忽略不必考量,即使在管流問題大部份也是可忽略流體的壓縮性,又波動現象粘性效應不是很大,通常可以視流體為理想流體,忽略粘性,理想化之。
教授告訴我們對純波動問題,即不包含其他類似流等運動,流體以靜止狀態開始運動時,可視流體運動具有非回轉性,其速度勢會存在,流體運動的控制方程式可以Laplace方程式表示,Laplace方程式為法國數學天文學家Pierre-Simon Laplace(1749–1827)推導出,在理想流體的框架下,所有波動運動幾乎均可依此方程式控制解析,因此過去40個歲月中,Laplace方程式一直與我共棲。
另一方面,對具有粘性的真實流體,法國數學物理學家Claude-Louis Navier (1785–1836)英國數學及物理學家George Gabriel Stokes(1819-1903)推導出Navier-Stokes方程式,它是從牛頓第2運動定律推導出來的,這個方程式幾乎主宰一切流體運動。過去個人無緣接觸,因Laplace方程式就夠我受了,希望剩下的人生有緣和它接觸。
實際的海面波動是非常複雜不規律的運動,由於至今我們尚無法有一套完整正確的描述方法來說明,必須把現象加以簡化。首先我們視波運動為一種對時間作簡諧運動的規則波,可以三角函數表示,正弦或餘弦均可,兩者的差異為位相相差90度而已,其物理特性不變。
為簡潔說明波運動,教科書多以2維Laplace方程式為例,為了可將時間函數與空間函數作變數分離,令水深一定,並將在自由水面的Bernoulli運動邊界條件的非線性項忽略,得到波進行方向為與時間及x空間有關的三角週期函數及水深z方向有關的雙曲線函數組合而成的速度勢函數。
此時可發現波運動可藉由簡潔的三角函數及雙曲線函數編織出美麗的波動畫面,開始時有點不可致信,雖然它是經過簡化近似的結果,對一般人而言已可以簡單說明波動現象。然而若要了解波與海岸結構物間的相互作用,討論如何利用海岸結構物間保護海岸,或欲了解波在複雜變形的海岸地形海域波的運動時,無法利用理論進行解析必須借助於數值分析,目前有差分、有限元素及邊界元素等方法可用。在古早偉大的學者們發揮他們不曉得從那裏得來的智慧推導出一些現代人無法理解宛如像天上掉下來的公式,當年如果有電腦的話,說不定大部份物理現象都早被他們解謎了。現代人只是作一些數值分析的工作就痛苦萬分,實在有待加強。
2維問題只能作一些定性分析,真正的實際問題必須以3維形式考量,對波動現象就是考量3維Laplace方程式,為了配合電腦計算能力,許多研究者嘗試以近似方法簡化,其中目前最為廣用的是緩坡度方程式,顧名思義它應只能適用於坡度變化緩慢的地形,但現在有許多年青研究者也把它適用至陡坡。
目前個人電腦的計算能力及容量相當於十年前的大型電腦,未來128位元作業系統出現時將更為驚人,由於每作一項近似一定會有部份失真,個人認為未來數值分析的主流會還原至原始方程式的直接解析,這也可能是解決目前解析海岸水理環境瓶頸的有效方法。
從事海岸工程研究者的終極目標之一為預測海岸地形變遷,第1步驟首先必須確立波場,第2步驟由波場取得波的動量作為海濱流場的外力,利用Navier-Stokes方程式計算海濱流場,第3步驟再利用海濱流場的各項結果,利用漂砂連續方程式估算海岸地形變遷。
第1步驟的波場確立,不論應用原始的3維Laplace方程式或對水深方向近似求得的平面2維緩坡度方程式,以目前的技術均可克服。
第2步驟的海濱流場確立,英國海洋學家Michael S. Longuet-Higgins及R.W.Stewart於1960年對海岸附近水位上下降現象曾提出輻射應力(radiation stress)的概念,1963年H.Lundgren亦曾提出同樣概念但稱之為wave thrust,1970年 Longuet-Higgins將輻射應力概念推展至沿岸流成為目前推算海濱流場的主流,所謂輻射應力,指的是因波浪存在引起的剩餘動量。不論那個方法,至目前為止,推算沿岸流等均採用Navier-Stokes方程式,但為計算簡便起見,均對水深方向進行一些近似工作,使3維的Navier-Stokes方程式簡化成平面2維Navier-Stokes方程式。因此若欲應用3維Navier-Stokes方程式推算波浪引起沿岸流時,輻射應力的概念可能無法應用,因輻射應力為2維張量,可能必須重新思考,說不定直接從動量的觀點可得到結論。
第3步驟的漂砂場確立,如果能完成第l及第2步驟,漂砂場的確立是目前最缺乏理論基礎的部份,首先我們把砂的移動分成浮游砂及推移砂分開討論,重點放在推移砂,浮游砂是附帶,但若我們想想漂砂移動過程,漂砂發生最明顯的地方在碎波帶,波浪碎波將海底砂捲入海水呈浮游狀被流帶動,移至他處再沈降,個人感覺浮游砂是主流。另外我們把推移砂分成平行岸線及垂直岸線兩種,各自以半經驗公式估算,有值得加強餘地。若能將推移砂併入浮游砂,對其漂砂濃度推導出類似3維擴散移動方程式的漂砂移動方程式,對漂砂引起海岸地形變化可能會有益助。
關於3維波場,應用邊界元素法解析3維Laplace方程式的數值分析方法業已完成,並編寫成java程式適用於64位元單機個人電腦,正在測試中。
對如何利用3維邊界元素法解析3維Navier-Stokes方程式的邊界積分方程式及其基本解已收集完成,將進行適用於海岸水理環境的解析,重點為如何將波浪引起的動量視為外力代入3維運動方程式。
如果我們能夠定義出漂砂濃度及相關係數,則可用類似3維擴散方程式覓出3維漂砂移動方程式則擴散移動、熱傳及漂砂移動方程式可以同一形式的方程式,所以我們必須先覓得3維擴散移動方程式的邊界積分方程式及其基本解,然後再將第2步驟求得的流速等物理量代入求解。
對第2步驟的方法,變更其作用外力也可適用於海嘯、暴潮及海岸流的分析。
希望有志人士能共同研究
2012.01.31 凌晨